| 解：（1）设AC=4x，BC=3x， 在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2 ， 即：（4x） 2 +（3x） 2 =10 2 ， 解得：x=2， ∴AC=8cm，BC=6cm； | |
| （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x， ∴BP=10-x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴ ∴QH= ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10-x，AQ=14-2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴ 即： 解得：QH′= ∴y= ∴y与x的函数关系式为：y= | |
| （3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB， ∴△APQ∽△ACB， ∴ 即： 解得：x= ∴PB=10-x= ∴ ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似； | |
| （4）存在， 理由： ∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ∥AB， ∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线， ∴PC=AP=5， ∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， ∴△BCM的周长最小值为16。 |
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