在平面直角坐系xOy中，已知直线y=3被圆C1：x2+y2+8x+F=0截得弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）设P是y轴

解答：解：（1）将y=

3

代入圆C₁：x²+y²+8x+F=0，得
x²+8x+3+F=0，则x₁+x₂=-8，x₁x₂=3+F，
则弦长为

(?8)2?4(3+F)

=2，解得F=12．
即圆C₁的方程为：x²+y²+8x+12=0；
（2）连接PC₁，则PC₁⊥AB，垂足E即为AB的中点，
可设P（0，t），则弦AB可看作是圆C₁和以PC₁为直径的圆的交线，
以PC₁为直径的圆的方程为：x（x+4）+y（y-t）=0，
而圆C₁的方程为：x²+y²+8x+12=0，两圆方程相减得，AB的方程为：4x+ty+12=0，
又PC₁的方程为：tx-4y+4t=0，联立两直线方程，消去t，
即可得到动弦AB中点的轨迹方程为：x²+y²+7x+12=0；
（3）令圆的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则C（-6，0），D（-2，0）
设Q（m，n）（n≠0），则（m+4）²+n²=4，得到（m+4）²-4=-n²①
k_QC=

n

m+6

，则QC：y=

n

m+6

（x+6），即有M（0，

6n

m+6

），
同理QD：y=

n

m+2

（x+2），即有N（0，

2n

m+2

），
则圆C₂：x²+（y-

6n

m+6

）（y-

2n

n+2

）=0，
将①代入化简得，x²+y²-（

6n

m+6

+

2n

m+2

）y-12=0，
令y=0，得x=±2

3

，
得点R（-2

3

，0），
由R到圆C₁的圆心（-4，0）的距离d=4-2

3

＜2，则点R在圆C₁内，
所以当点Q变化时，以MN为直径的圆C₂经过圆C₁内一定点R（-2

3

，0）．