很有挑战的，高等数学，证明题，不能用极限，用数学归纳原则证明，虽是英语，但符号应该能看懂，谢谢

a) S={1/n:n∈N},求证，S上限是1，下限是0（不用极限）
1/n是减函数，n最小时，1/n最大；n最大时，1/n最小。n最小值=1，S上限=1/1=1；
n最大=无穷大，1/∞=0
反证法，设1/n的下限不是0，而是a>0,则当n>1/a时，1/n
b)S={1/10^n:n∈N},使用PMI（Principles of Mathmatical induction数学归纳法原理）证明1/10^n<1/n,对于所有n∈N,然后据此证明S的下限=0（不许用极限）。
n=1,1/10<1/1，成立；
设nn=k+1时：
上式两边同乘以1/10
1/10^(k+1)<1/(10k)
看看1/10k<1/(k+1)的条件
k+1<10k
1<9k
k>1/9
成立，因此
1/10^(k+1)<1/(10k)<1/(k+1)
得证。
0<1/10^n<1/n
根据上题，1/n的下限=0，
因此。1/10^n的下限也是0.

a) S={1/n:n∈N},求证，S的上确界是1，下确界是0）
证：∵n∈N ∴0<1/n<1，即1是1/n的上界，0是下界。
　　对于任意的ε>0,都有1>1-ε, ∴1是S的 上确界。
　　令1/n<ε，得 n>1/ε,取N=[1/ε]+1,即对任意给定的ε>0,都存在1/N∈S,使1/N<ε成立。
　　∴0是S的下确界。
b) S={1/10^n:n∈N},用PMI（数学归纳法）证明1/10^n<1/n,对于所有n∈N,然后据此证明S的下确界=0。
证： n=1,1/10<1/1，成立；
设n n=k+1时：两边同乘以1/10得：
1/10^(k+1)<1/(10k)
但是 10k>k+1 总能成立（因k是项数，是大于1的整数）
　 　∴1/10^(k+1)<1/(10k) <1/(k+1)
　 　根据数学归纳法，对一切正整数，都有1/10^n<1/n
　 　从而｛1/10^n｝的下确界<{1/n}的下确界，
但0是｛1/10^n｝的下界，a)中已证{1/n}的下确界是0
　　∴｛1/10^n｝的下确界是0.

不给分吗？