116问答网 > 已知(x2+1)(x?1)9＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11．（1）求a2的值；（2）求展开式中系数最大的项；（3）求(a1+3a

已知(x2+1)(x?1)9＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11．（1）求a2的值；（2）求展开式中系数最大的项；（3）求(a1+3a

2025-06-22 19:04:32

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回答1：

（1）∵（x²+1）（x-1）⁹=（x²+1）（

x⁹-

x⁸+…+

）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，
∴a₂=-

=-37． …（4分）
（2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为a₁=

=9，a₃=

=93，a₅=

=210，a₇=

=162，
a₉=

=37，a₁₁=

，故展开式中系数最大的项为210x⁵． …（8分）
（3）对=（x²+1）?（x-1）⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹两边同时求导得：
（11x²-2x+9）（x-1）⁸=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+11a₁₁x¹⁰，
令x=1，得a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁=0，
所以(a1+3a3+…+11a11)2-(2a2+4a4+…+10a10)2
=（a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁）（a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…-10a₁₀+11a₁₁）
=0．…（14分）