初等方法好像不行，得用到唯一分解整环的知识
R为代数整数环Z(√-2)，R是唯一分解整环,R中单位只有1和-1
x^3=y^2+2=(y-√-2)(y+√-2)
(y-√-2)和(y+√-2)互素
所以只能是y-√-2=(a+b√-2)^3=a(a^2-6b^2)+b(3a^2-2b^2)√-2
y+√-2=(c+d√-2)^3 =c(c^2-6d^2)+d(3c^2-2d^2)√-2
因此 y=a^3-6ab^2=c^3-6cd^2
1=(3a^2b-2b^3)=(3c^2d-2d^3)
可知 b=±1，3a^2-2b^2=±1 ，那么b=±1，a=±1
因此y=a^3-6ab^2=a(a^2-6b^2)=±5
y为正整数，因此y=5，带入可得到x=3
这就是唯一正整数解x=3,y=5
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