设A的R(A)=r,则Ax=0的解空间的维数为n-r,再设B=[b1,b2,..,bn],其中b1,b2,..,bn是矩阵B的列,由AB=O,得Ab1=O,Ab2=0,...,Abn=0,故b1,b2,..,bn均属于Ax=0的解空间,于是b1,b2,..,bn最大线性无关向量个数即R(B)<=n-r,于是得R(A)+R(B)<=n.
把B写成列向量的形式.
| B1 |
| B2 |
A | ...... | = O
| Bn-1 |
| Bn |
然后可知这些n个Bi可以用自由的n-rank(A)来表示,因此B的秩肯定<=n-rank(A),即:rank(B)<=n-rank(A).
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