116问答网 > 线性代数里面，为什么齐次方程里，方程少，未知数多，一定有非零解？

线性代数里面，为什么齐次方程里，方程少，未知数多，一定有非零解？

2025-06-20 07:25:42

推荐回答（4个）

回答1：

自由未知量数=n(未知量个数x)-r(矩阵的秩)

一定有非零解，并不表示没有零解，在方程少未知数多的情况下，可以得到众多解，而其中一定有非零解，当然肯定有零解

设方程组有m个方程n个未知量

在已知条件情况下, r(A)<=m

所以方程组有无穷多解, 即有非零解

基础解系含 n-r(A) 个解向量.

现代线性代数

已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。

回答2：

首先，任何线性方程都一定有零解；
齐次方程AX=0 也一定存在零解，当方程少，未知数多时，齐次方程组的系数矩阵A的秩一定小于列向量的个数(未知数的个数)，所以齐次方程组一定存在非零解。

回答3：

一定有非零解，并不表示没有零解，在方程少未知数多的情况下，可以得到众多解，而其中一定有非零解，当然肯定有零解

回答4：

每个齐次方程组都有零解。而不一定有非零解。