有关等差递增计算力的方法

比递增法、等差递增法是租赁业务中计算租金的两种方法。根据其基本公式进行推导和分析计算，可知按照等比递增法计付租金，则实际租金率下降，甚至是大幅度下降，使出租人的利益蒙受损失；按照等差递增法计付租金，则实际租金率总是等于名义租金率，而且计算简便。因此，等差递增法比等比递增法公平合理和实用

随着我国中学教学改革的不断深化, 《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》提出：大力推进基于现代信息技术的数字化数学活动（DIMA），建立以计算机、计算器（包括科学计算器、函数型计算器和图形计算器）为支撑、拥有智能软件和丰富课件、联接信息网络的DIMA平台。利用该平台，改善数学内容的处理方式和呈现方式，让学生在信息技术环境下自主学习，进行实验、探索和研究。

在大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合的今天，我校也在实施课程改革，图形计算器也相应运用到了数学拓展课的课堂上。为此我们设计了“用图形计算器研究表示等差、等比数列的几种方法”的教学案例。

一、教学背景：

在《数列》这一章中在讲解等差数列与等比数列的概念时，内容比较简单，学生很容易掌握。它是后面学习数列的基础，有助于培养学生的观察能力、归纳总结能力。而等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式、两个数的等比（差）中项等，因此在教学过程中可用类比方法，从而弄清它们之间的联系和区别。
高一学生经过半年多的图形计算器的使用学习，对用图形计算器分析、建构、探究数学问题有了初步的认识。从中他们深感图形计算器的使用不仅改变了他们学习数学的方法，而且提高了他们学习数学的兴趣。他们非常喜欢这种“做数学”的学习方式。

图形计算器有着众多的数列使用功能，如数列通项公式、递推公式的运用功能，数列图像以及图像追踪的功能，数列运算表的表达功能，数列的迭代功能以及数列的编程功能等。这些都为学好数列的基础知识，正确认识数列，使学生在有效的尝试猜想、合理归纳、简化运算、验证运算中，体验公式的认知过程，领会其中的数学思想方法，提高问题处理的能力等起到了很大的作用。

二．课例的设计理念

等差数列、等比数列两个常规数列是整个数列知识学习的核心。猜想、归纳、递归、类比等数学思想在这两个基础知识学习中有着充分的体现，可谓是“麻雀虽小，五脏俱全”。而这些，在传统数列教学中是很难全面、正确地表现出来。这会造成学生对所学知识的片面理解，对数列的后续学习带来负面影响。而图形计算器有着众多的数列使用功能，如数列通项公式、递推公式的运用功能，数列图像以及图像追踪的功能，数列运算表的表达功能，数列的迭代功能以及数列的编程功能等。这些都为学好数列的基础知识，正确认识数列，使学生在有效的尝试猜想、合理归纳、简化运算、验证运算中，体验公式的认知过程，领会其中的数学思想方法，提高问题处理的能力等起到了很大的作用。所以我们设想通过用图形计算器来研究数列、表示数列，让学生对这两个常规数列有一个清晰的认识，同时也想通过这样的学习过程，培养学生的主动探究精神，提高他们的数学学习能力。

设计与实施：

新教材的教学内容更注重函数思想与计算机技术的整合。本章内容从一开始，教材就将数列置于函数的背景下，给出定义：数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值为数列的项。数列是一类离散函数。在习题的配备中教材也时时与函数教学类比。等差数列、等比数列的通项公式、递推公式、图像是我们这节课研究的主要内容，我们设想在图形计算器的帮助下，通过做数学的方法让学生对数列知识有一个生动、全面、正确的认识，从学习中，提高学生的数学思维能力，培养学生正确的数学观，真正提高学生对数学学习的兴趣。

案例一 ⑴ 求等差数列 -121，-110，-99，-88，… 的第11项

⑵ 写出该数列的通项公式及递推公式

对于这个问题，其实根据其基本规律，就可以计算出结果。但是用图形计算器可以让我们从多个角度去思考问题的解决办法，有利于学生全面、正确了解等差数列的特性，从而简化计算。

方法一： 运用数值的迭代功能（如图①）：

①

方法二：运用图形计算器的数组功能（如图②）:

②

方法三：运用计算器的递推功能

图③是在设置了函数功能的前提下运用¿键的结果，这与图①的效果一样。

③

方法四： 猜想数列的递推公式、通项公式，通过计算器的数列相关功能，检验所得数列的递推公式、通项公式是否正确并求出该数列的第11项：

图④是根据该数列的特点，猜想出数列的递推公式，采用图形计算器的数列运算功能，运用y'画出表格所得。

④

图⑤是猜测出数列的通项公式，在寻找数列的通项公式中，是通过对数据的分析，得到公式，由特殊提升到一般的过程。然后同样运用y'画出表格所得。

⑤ ⑥

注：在解这道题的同时，我们还可以通过图形计算器验证“等差数列的通项公式是特殊的一次函数”。

如下图⑦可以得到数列的图像是在一条直线上的离散的点，也从中看出数列是一种特殊的函数。

⑦

方法五：因数列是特殊函数，利用图形计算器函数功能思考问题

图⑧是在“数列是特殊的函数”的认知条件下，用计算器的函数功能得到函数y=-121+11(x-1) ，并利用该函数与数列an=-121+(n-1)之间的联系来思考数列的相关问题。

⑧

方法六：充分利用图形计算器的函数拟合功能，通过数形结合，得到数列的通项公式

图⑨利用图形计算器线性回归功能，先列出数列的表格，然后根据表格中的数据把等差数列的通项公式与一次函数联系起来，用图形计算器的拟合功能得到函数关系式，由此得到数列的通项公式。

⑨

方法七：运用图形计算器的编程功能，解决数列问题（如图⑩）

⑩

点评：方法一、方法二采用了计算器迭代功能，但②显示出数列的项的序号与值的对应关系，从中我们初步体会到数列是一种特殊的函数。

方法四 是通过猜想数列的递推公式、通项公式，在计算器的数列功能的支持下，从数列的运算表或数列图像的追踪中反过来验证自己的猜想是否正确，并获得所要解决的问题的答案。这样的学习方法有助于培养学生的分析、猜想、论证、归纳的探究能力。这正是我们常规的学习中所欠缺的，而图形计算器的使用给我们搭建了这样的一种学习方法的平台。

方法六、方法七都是在明确数列是一种特殊的函数的条件下，在计算器的函数功能的支持下，我们通过对函数解析式的猜想或拟合，找到了解决问题的途径，这对于学生列的知识的学习及数列特性的认识，都能起到事半功倍的效果

方法八 采用了图形计算器的编程功能，这是普通数学教学中不能做到的，它从另一个视角揭示了等差数列的本质。

⑶ 209是否是该数列中的项，如果是是第几项？

方法一 、数组法 方法二、表格法

方法三、图像法 方法四、解方程

设置本小题的目的是：在第一个问题的基础上，利用图形计算器的运算、跟踪、解方程功能，培养学生的逆向思维，提高数学思维能力。

特别需要指出的是：上面我们讨论的数列是公差d>0的情况，对于初学者往往会产生一定的思维定势，例如：“公差d>0对于任何等差数列都是成立的”这样的错误认识，为了避免类似问题的产生，特别提醒学生注意下面两种类型的数列的区别

（1）常数列 （2）公差为负数的等差数列

-2，-2，-2，… 3，1，-1，-3，…

要让学生正确认识一般与特殊之间的辩证关系。

案例二：自己编一个等比数列问题的题目，从中研究等比数列的相关性质

从学生的诸多问题中找出典型问题师生共同研究，其中可以举出书上的例子

（现实生活中如：贷款买房、人口增长与住房面积的变化等——关注百姓身边的热点问题，注意引导学生把所学知识用到相关学科和生活、生产实际中去，使学生在获取知识和运用知识的同时发展思维能力，使学生能够运用已有的知识进行交流，并能将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。）

如“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，并要求说出它的数学模型，求出它的通项公式。

（无论新旧教材，课本在编写等差数列和等比数列内容时，都是利用两者在形式上有着许多相似之处，采用类比的思想方法，使学习者在知识的认知上进行迁移，而且这两种数列在解决问题的方法上，也有着许多可作类比之处。为了让学生理解类比思想的实质，特编写这样一道题。）

数学模型：等比数列的前四项分别是 1，1/2，1/4，1/8，…

方法一、数组直接求解 方法二、通项公式 方法三、递推公式

图表结果

图像结果

拟合求通项

需要注意的问题是：为了避免思维定势，也同样需要强调在等比数列中也存在公比q<0的情况

公比为负数

1，-2，4，-8，…

三、教学小结：

通过本节课的学习，使我们领会到了：（1）通项公式和递推公式都可以用于表示一个数列，但通项公式强调数列的项与项数之间的关系，递推公式则是表示相邻两项之间的关系式，因此，通常对于给定项数求数列的项时，通项公式较递推公式方便一些，而对于图形计算器，两者的表示方式是一样的。（2）数列作为一种特殊的函数，我们所研究的等差数列和等比数列分别对应于函数模型是定义在自然数集N上的一次函数和指数函数。(3)如果我们能够有效、合理地将图形计算器融入到数列的学习过程中，充分利用图形计算器的技术来解决数学问题，将会既快捷又方面，给我们的学习会带来意想不到的效果。

教学反思：

作为教师，我们觉得不仅仅是将自身知识传授给学生那么简单，更重要的是应当注重学生学习能力的培养，在教学过程中做到师生互动，培养学生自主、合作、探究的学习精神，同时要激发他们的学习积极性，最终才能达到好的效果。
这节课是在学习了等差数列的基本概念的基础上展开的，在内容上等差与等比数列几乎是平行的。学生已有一定的基础，教师将课堂的发挥空间让给学生，他们是这节课的主体，教师这时只要稍加启发，学生便能利用已有的等差数列的知识进行类比，并应用图形计算器，得到有关的性质。同时教师加以肯定、表扬，这样，学生学习数学的信心倍增，学习的热情高涨，积极性被充分调动起来，如此，岂有学不好的道理？因此，教师在教学当中应当引导学生积极主动地学习，在原有的知识基础上创设好的教学情境，学生