求微分方程y'=2x+y满足y(0)=0的特解。
解：先求齐次方程y'=y的通解：分离变量得 dy/y=dx；积分之得lny=x+lnc₁；
即y=e^(x+lnc₁)=c₁e^x；将c₁换成x的函数u，得y=ue^x...........①
对①取导数得：y'=u'e^x+ue^x..........②
将①②代入原式并化简得：u'e^x=2x；即有du=2xe^(-x)dx;
积分之得u=2∫xe^(-x)dx=-2∫xd[e^(-x)]=-2[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)]=-2[xe^(-x)+e^(-x)]+c
=-2(x+1)e^(-x)+c；
代入①式即得原方程的通解为：y=[-2(x+1)e^(-x)+c]e^x=-2(x+1)+ce^x
代入初始条件y(0)=0，得 c=2；故所求的曲线为：y=-2(x+1)+2e^x=2[(e^x)-x-1)]
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