已知函数f(x)=-1⼀2x.x+x,是否存在实数m,n(m大于n),使得当x属于[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?

先假设存在实数m，n满足题意，对解析式平方后求出函数的最大值，进而求出n的范围，再判断出函数在区间上的单调性，结合值域列出方程组求解．
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解：假设存在实数m，n满足题意，
由题意得f(x)=−1/2·(x²−2x)=−1/2·(x−1)²+1/2≤1/2，
∵函数f(x)的值域为[2m，2n]，
∴2m<2n≤−1/2，
则区间[m，n]在对称轴x=1的左边，
∴函数f(x)在[m，n]单调递增，
∴
f(m)=2m
f(n)=2n
即
−m²/2+m=2m
−n²/2+n=2n
【注意有m解得
m=−2
n=0
故存在m=-2，n=0满足题意．
【本题考查了二次函数的性质应用，以及二次函数的值域问题，对于存在性问题先假设存在，根据题意求值，再验证判断即可．】
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