证明矩阵可逆

首先这里的矩阵需要是实矩阵, 否则有反例.
例如取二阶复矩阵A = [1,-i;i,1], 则S可以为[1,1;-i,-i], 易见S不可逆.

用B'表示B的转置, 对于实矩阵可以证明如下.
设A是n阶矩阵, 可知Nul A的维数为n-r(A), 故N是n×(n-r(A))矩阵.
又可知row A的维数为r(A), 故R是r(A)×n矩阵.
因此S = [R',N]是n阶方阵.

由N的选取, 有AN = 0, 进而有RN = 0.
可算得S'S具有分块形式[RR',RN;N'R',N'N] = [RR',RN;(RN)',N'N] = [RR',0;0,N'N].
于是r(S) = r(S'S) = r(RR')+r(N'N) = r(R)+r(N) (对实任意矩阵B, 有r(BB') = r(B'B) = r(B) (*)).
由r(N) = n-r(A), r(R) = r(A)即得r(S) = n, 故S为满秩n阶方阵, 即n阶可逆矩阵.

注1: 如果学了内积空间, 可以比较简单的理解这个结果.
AN = 0表明A'的列向量与N的列向量彼此正交, 即Row A的转置与Nul A是互相正交的两个子空间.
又二者维数互补, 故它们各自的一组基可以拼成全空间的一组基.
于是S的列向量是全空间的一组基, S满秩即可逆.

注2: 关于结论(*), 这是一个常见题目, 可通过BX = 0与B'BX = 0同解来证明.
其中实矩阵的条件不能去掉, 这直接导致本题也需要实矩阵的条件.

知识点: AX=0 的解与A的行向量正交
这样,问题转化为:
R^T , N 的列向量组都是线性无关组 且 两个向量组的向量正交
则 (R^T,N) 的列向量组线性无关