解一元三次方程的卡尔丹公式

2025-06-20 08:09:50

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回答1：

卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
卡尔丹公式
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。