已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0

2025-06-22 09:08:16

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回答1：

（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax² +2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c² ＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴

) 2 ＞0，
所以0＜

＜ 1．
（2）令f′（x）=3ax² +2bx+c=0，则 x 1 + x 2 =-

，x₁ x₂ =

，
∴k=

f( x 2 )-f( x 1 )

x 2 - x 1

(a x 2 3 +b x 2 2 +c x 2 )-(a x 1 3 +b x 1 2 +c x 1 )

x 2 - x 1

( x 2 - x 1 )[a( x 2 2 + x 2 x 1 + x 1 2 )+b( x 2 + x 1 )+c]

x 2 - x 1

=a（ x 2 2 + x 2 x 1 + x 1 2 ）+b（x₂ +x₁ ）+c
=a[ ( x 2 + x 1 ) 2 - x 2 x 1 ]+b（x₂ +x₁ ）+c
=a（

4 b 2

9 a 2

）+b（-

）+c
=a[（

4 b 2

9 a 2

）+

（-

）+

]
=

（-

b 2

a 2

），
令t=

，由b=-（a+c）得，

=-1-t，t∈（0，1），
则k=

[-（1+t）² +3t]=

（-t² +t-1），
∵a＞0，-t² +t-1∈（-1，-

]，∴k∈（-

，-

]．