直线y=kx＋1与双曲线3x2－y2=1相交于两点A．B，

解：（1）联立方程kx+1=y与3x²-y²=1，消去y得：（3-k²）x2-2kx-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-k²≠0，所以k≠±√3 ，∴△＞0得出-√6 ＜k＜√6 ．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=-x1x2．
且y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k²x1x2+k（x1+x2）+1=-x1x2
得到x1x2（1+k²）+k（x1+x2）+1=0，
而由方程（*）知：
x1+x2=2k/(3-k²) ，x1x2=2/(k²-3)
代入上式得-2(k+1)/(3-k²) +2k²/(3-k²) +1=0
k²=1
k=±1．满足条件．

（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=kx+1斜率k=-1/2．
又AB中点((x1+x2)/2 ，(y1+y2)/2)在y=2x上，则y1+y2=2 (x1+x2)，
又(y1+y2)/2=k（x1+x2）/2+1，即y1+y2=k（x1+x2）+2代入上式知
k(x1+x2)+2=2（x1+x2）
又知x1+x2=2k/(3-k²)代入上式，
可得
k=3/2这与k=-1/2矛盾．
故这样的实数k不存在．

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