一道高一对数函数习题，求正解求详解

f(-x)=log3(√(x²+1)-(-x))=log3(√(x²+1)+x)

-f(x)=-log3(√(x²+1)-x)=log3(1/(√(x²+1)-x))=log3(√(x²+1)+x) (分子分母同乘以√(x²+1)+x）

因为f(-x)=-f(x) 所以 为奇函数

√(x²+1)-x>0在任何条件下恒成立，所以X的定义域为R

用单调函数的性质来证明单调性
如果x增大（变小），f(x)增大（变小），则f(x)为增函数
如果x变小（增大），f(x)增大（变小），则f(x)为减函数

设T＝√(x²+1)-x)＝1/(√(x²+1)+x))
在T中x增大，因为分母是加法，所以分母在增大，T变小

log3(T)是增函数

因为 x增大，T变小，f(x)变小

所以是减函数。

用定义来证明：
设x1>x2

(√(x1²+1)-x1）/(√(x2²+1)-x2))=(√(x2²+1)+x2))/(√(x1²+1)+x1))<1 （√(x1²+1)+x1)是增函数，随x增大而增大，所以分子小于分母）

设L(X)＝√(x²+1)+x

f(x1)-f(x2)=log3L(x1)-log3L2=log3L(x2)=log3(L(x1)/L(x2))

根据上式，两式比值小于1大于0，函数值小于0

f(x1)-f(x2)<0 f(x1)
所以为减函数。