116问答网 > 对一切实数x，有f(1⼀2+x)=1⼀2+√f(x)-f(x)눀，证明：f(x)为周期函数，并求其周期。

对一切实数x，有f(1⼀2+x)=1⼀2+√f(x)-f(x)눀，证明：f(x)为周期函数，并求其周期。

2025-06-20 09:56:02

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回答1：

由原式得到，f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4
用x+1/2代入上式，得到：
f(1/2+x)-f(1/2+x)²=f(1/2+1/2+x)²-f(1/2+1/2+x)+1/4=f(1+x)²-f(1+x)+1/4
则得到，f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4=-f(1+x)²+f(1+x)-1/4+1/4=f(1+x)-f(1+x)²
整理得到，f(1+x)²-f(1+x)=f(x)²-f(x)，于是周期是1