已知函数f（x）=x|x 2 -3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．（2）

2025-06-23 02:20:35

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回答1：

证明：（1）当m＜1时，f（x）=x（3-x² ）=3x-x³ ．
因为f′（x）=3-3x² =3（1-x² ）＞0．
所以f（x）是增函数．
（2）令g（x）=x|x² -3|，x≥0．
则g（x）=

3x- x 3 ，0≤x≤

x 3 -3x，x＞

，
当 0＜x＜

时，由g′（x）=3-3x² =0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，

]上是减函数．
当 x＞

时，g′（x）=3x² -3＞0，所以g（x）在[

，+∞）上是增函数．
所以当 x∈[0，

] 时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（

）=0．
从而0＜m＜1不符合题意， 1≤m≤

符合题意．
当m ＞

时，在 x∈[0，

) 时，f（x）∈[0，2]；
在 x∈[

，m] 时，f（x）∈[0，f（m）]．
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，
即m³ -3m≤2，（m-2）（m+1）² ≤0，解得

＜m≤2 ．
综上所述，m的取值范围是[1，2]．
（3）由（2）知，当1≤m≤2时，f（x）在[0，m]上的最大值为f（1）=2，最小值为f（0）=0，
∴f（x）在[0，m]上的值域为[0，2]．
当m＞2时，f（x）在[

，m]上单调递增，
f(x ) max =f(m)= m 3 -3m ，
∴f（x）在[0，m]的值域为[0，m³ -3m]．