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求证;1⼀4+1⼀6+1⼀8+1⼀10+.....+1⼀(2n)<lnn<1+1⼀2+1⼀3+1⼀4+...+1⼀(N-1)

2025-06-21 09:44:29

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回答1：

证明：根据积分的定义（面积法--自己画下图就明白了）：
1/(n-1)>∫[n-1到n]1/t dt=ln⁡n-ln⁡(n-1)
=> 1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1)>[ln-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+...+[ln3-ln2]+ln2-ln1=lnn
1/2n<∫[(n-1)到n]1/t dt=ln⁡n-ln⁡(n-1)
=> 1/4+1/6+1/8+1/10+.....+1/(2n)< [ln-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+...+[ln3-ln2]+ln2-ln1=lnn
综上所述：
1/4+1/6+1/8+1/10+.....+1/(2n)