已知数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20．设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn（1）求数列{an}和{bn}的

2025-06-23 04:27:59

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回答1：

（1）∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，设公差为d，
∴

a1+4d＝14

a1+6d＝20

，解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n，
令n=1，则b₁=2-2S₁=2-2b₁，∴b₁=

，
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，
得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，
∴

bn?1

，
∴{b_n}是以b1＝

为首项，

为公比的等比数列，
∴b_n=

)n?1=

．
（2）由（1）知cn＝

＝

(3n?1)?3n

，
∴Tn＝

[2?3+5?3²+8?3³+…+（3n-1）?3ⁿ]，①
3T_n=

[2?3²+5?3³+8?3⁴+…+（3n-1）?3ⁿ⁺¹]，②
①-②，得：
-2T_n=

[6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-（3n-1）?3ⁿ⁺¹]
=

[6=

33(3n?1?1)

3?1

-（3n-1）?3ⁿ⁺¹]
=