∫
dx=sinxβ
xα
∫
dx+sinxβ
xα
∫
dx=I1+I2．sinxβ
xα
对于I1，由于当x→0时，
～sinxβ
xα
，1 xα-β
故当α-β＞1时，I1发散；
当α-β≤1时，I1收敛．
对于I2，
令t=xβ，x＞0，则
I2 =
∫
?sint t
α β
t1 β
-1dt1 β
=
∫
dt．sint βt1+
α-1 β
因为|
|≤sint t1+
α-1 β
，1 t1+
α-1 β
故当α＞1时，I2绝对收敛；
因为对于任意A＞0，
|
sintdt|=|1-cosA|≤2有界，
∫
且当1+
＞0时，α-1 β
单调减少趋于0，1 t1+
α-1 β
因此当1+
＞0，即 α+β＞1时，I2条件收敛；α-1 β
而当1+
≤0时，α-1 β
由于
lim x→∞
不存在，sint t1+
α-1 β
故I2发散．
综上，当α-β＞1且α＞1时，积分绝对收敛；
当α-β＞1且α+β＞1时，积分条件收敛，
在其他情况下，积分发散．
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