数学题在线求解答

59.y=x²sinx；y'=2xsinx+x²cosx;
60.x→+∞lim[(xlnx)/(x²+1)]=x→+∞lim[(lnx+1)/(2x)]=x→+∞lim[(1/x)/2]=0
61.F(x,y)=xy-e^x+e^y=0；
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(y-e^x)/(x+e^y)=(e^x-y)/(x+e^y);
62.∫x(e^x)dx=∫xd(e^x)=xe^x-∫(e^x)dx=xe^x-e^x+c=(x-1)e^x+c;
63.y=2x³-9x²+12x-3；令y'=6x²-18x+12=6(x²-3x+2)=6(x-1)(x-2)=0
故得驻点x₁=1(极大点)，x₂=2(极小点)；
单增区间：(-∞，1]∪[2，+∞)；单减区间：[1，2]；
64. 设园罐的底面半径为R，高为h；那么需要铁皮的面积为S=2πR²+2πRh;
令∂S/∂R=2πR+2πh=0，得R+h=0.........①
再令∂S/∂h=2πR=0，得R=0(舍去)
即当R=h时材料最省，此时的材料面积S=4πR²;
65。∵x>0，设 y=x-ln(1+x)；∴y'=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0，即在x>0时y=x-ln(1+x)是增函数；当x=0时y=0；故当x>0时y=x-ln(1+x)>0，即有x>ln(1+x).故证。