用排序不等式和柯西不等式证明

2025-06-23 07:19:16

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回答1：

证法一(基本不等式法):
a1²/a2+a2≥2a1
a2²/a3+a3≥2a2
…… ……
a(n-1)²/an+an≥2a(n-1)
an²/a1+a1≥2an
以上n个式子相加后，
再两边减去a1+a2+……+an，
即得待证不等式.

证法二(Cauchy不等式法):
(a2+a3+……+a1)(a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1)
≥(a1+a2+……+an)²
两边除以a1+a2+……，
即得待证式.

证法三(权方和不等式法)
a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1
≥(a1+a2+……+an)²/(a2+a3+……+a1)
=a1+a2+……+an，
故原不等式得证.

证法四(排序不等式法)
不妨设a1>a2>……>an，则
1/a2>1/a3>……>1/an.
∴a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1
≥a1²/a1+a2²/a2+……+an²/an
=a1+a2+……+an
故原不等式得证。

还有很多其他证法，就不一一列举了。