已知圆一条直径的端点分别是A(X✀, Y✀).B(X",Y").求证此圆的方程是 (X-X✀)(X-X")+(Y-Y✀)(Y-Y")=0

(方法一)可以先求出圆的半径R= ,圆心坐标（ ， ）

然后代入圆的标准方程 中，整理即得.

y

P

A

B

o x

但整理的过程较繁且认识问题的角度单一.

（方法二）设P(x，y)是圆上异于A，B的任意一点，根据圆的性质有PA⊥PB，∴kAP·kBP =－1即 ，两边同乘以(x－x1)(x－x2)，再移项,验证A,B两点坐标均适合,即得.

比较上面两种方法会发现方法二更简洁，这是因为运用了“圆的直径所对的圆周角是直角”的这一本质属性.受此启发，我们还可以把圆描述为“平面内到两个定点的连线保持垂直的点（连同两个定点）的集合”.这样的描述可以让学生从轨迹的角度，认识圆的形成过程，发展学生在知识探求中的求异思维能力.其中渗透了轨迹的思想,也为后面学习椭圆的定义（平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的集合”）提供了过渡准备和横向对比的契机，有益于学生知识结构平稳过渡.当然,在学习了必修4有关向量的知识后我们可以引入方法三, , ,由 ,即得

,只要写出向量式即可得出结论.

数学思维的追求目标是简洁,随着知识的重叠与增加,学生往往只能在自己所学习的“最近学习区”研究问题,这显然是知识贯通上的呆板,只有让学生站在数学最基本的本质属性上分析问题,将自己的思维变得更简洁完美.当然,这需要一个长期积累潜移默化的过程,同时要求教师在平时教学中逐步体现与训练.

须答案圆的半径R= ,圆心坐标代入圆的标准方程 中，整理即得.