116问答网 > 动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．设圆心C的轨迹Γ方程为F（x，y）=0（1）求F（x，y）=0；（2）曲

动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．设圆心C的轨迹Γ方程为F（x，y）=0（1）求F（x，y）=0；（2）曲

2025-06-21 09:51:00

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回答1：

（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，
即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y² =4x．
（2）证明：设 A（x₁ ，y₁ ）、B（x₂ ，y₂ ），由题得直线的斜率-1．
过不过点P的直线方程为y=-x+b，由

y 2 =4x

y=-x+b

得 y² +4y-4b=0，则y₁ +y₂ =-4．
由于P（1，2）， k AP + k BP =

y 1 -2

x 1 -1

y 2 - 2 0

x 2 -1

y 1 -2

-1

y 2 -2

-1

y 1 +2

y 2 +2

4( y 1 + y 2 +4)

( y 1 +2)( y 2 +2)

=0．
（3）设M（x₁ ，y₁ ），N（x₂ ，y₂ ），则 k MN =

y 2 - y 1

x 2 - x 1

y 2 - y 1

y 1 + y 2

（***）．
设MP的直线方程为y-y₀ =k（x-x₀ ），
由

y 2 =4x

y- y 0 =k(x- x 0 )

，可得 y 2 -

4 y 0

-4 x 0 =0 ，
则 y 0 + y 1 =

，∴ y 1 =

- y 0 ．
同理 y 0 + y 2 =-

，得 y 2 =-

- y 0 ．
代入（***）计算得：y₁ +y₂ =-2y₀ ，∴ k MN =-

y 0

（为定值）．