116问答网 > 已知数列{a n }的前n项和S n ，满足 S n =2- a n - 2 2 n (n∈ N * ) （1）求出

已知数列{a n }的前n项和S n ，满足 S n =2- a n - 2 2 n (n∈ N * ) （1）求出

2025-06-22 08:09:15

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回答1：

（1）由条件，n=1时，S₁ =2-a₁ -1，解得 a 1 =

；
∵ S n =2- a n -

2 n

①，∴ S n+1 =2- a n+1 -

2 n+1

②，
②-①，得 S n+1 - S n =(2- a n+1 -

2 n+1

) - (2- a n -

2 n

) ，即 a n+1 = a n - a n+1 +

2 n

，
所以 a n+1 =

a n +

2 n+1

；
（2）证明：∵ a n+1 =

a n +

2 n+1

，∴ 2 n+1 a n+1 - 2 n a n =1 ，
则 3× 2 n+1 a n+1 -3× 2 n a n =3，
令 b n =3× 2 n ，∵

b n+1

b n

=2 对一切n∈N^* 恒成立，
所以存在等比数列{b_n }，使得{a_n b_n }是一个公差为3的等差数列；
（3） b n +

300

a n （n∈N^* ）的最小值为

123

，
由（2）知 2 n+1 a n+1 - 2 n a n =1 ，所以{2ⁿ a_n }为公差为1的等差数列，2ⁿ a_n =1+（n-1）?1=n，
所以 a n =

2 n

，又 b n =3× 2 n ，
所以 b n +

300

a n =3×2ⁿ +

300

2 n

≥2

3× 2 n ×

300

2 n

=60 ，
当 3× 2 n =

300

2 n

即2ⁿ =10时取等号，
由于n∈N^* ，且n=3时 3× 2 3 +

300

2 3

123

，n=4时， 3× 2 4 +

300

2 4

259

，
所以所求最小值为

123

．