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116问答网 > 已知函数 f(x)= x 2x+1 ，数列{a n }满足a 1 =f（1），a n+1 =f（a n ）（n∈N * ）．（Ⅰ）求

已知函数 f(x)= x 2x+1 ，数列{a n }满足a 1 =f（1），a n+1 =f（a n ）（n∈N * ）．（Ⅰ）求

2025-06-23 07:25:25

推荐回答（1个）

回答1：

（Ⅰ）a₁ =f（1）=

1

2+1

=

1

3

，a₂ =f（a₁ ）=f（

1

3

）=

1

3

2

3

+1

=

1

5

；
（Ⅱ）∵ a n+1 =

a n

2 a n +1

，
∴

1

a n+1

=

2 a n +1

a n

=2+

1

a n

∴

1

a n+1

-

1

a n

=2
∵a₁ =

1

3

，∴

1

a 1

=3
∴数列 {

1

a n

} 是首项为3，公差为2的等差数列，
∴

1

a n

=2n+1 ，
∴ a n =

1

2n+1

（Ⅲ） b n = a n ? a n+1 =

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

) ，
∴ S n =

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

n=1时，S₁ =

1

15

，

n

2 n +18

=

1

20

，S_n 大于

n

2 n +18

；
n=2时，S₂ =

2

21

，

n

2 n +18

=

1

11

，S_n 大于

n

2 n +18

，
n=3时，S₃ =

1

9

，

n

2 n +18

=

3

26

，S_n 小于

n

2 n +18

；
n=4时，S₄ =

4

33

，

n

2 n +18

=

2

17

，S_n 大于

n

2 n +18

；
猜想n≥4时，S_n 大于

n

2 n +18

；
证明如下：①n=4时，S₄ =

4

33

，

n

2 n +18

=

2

17

，S_n 大于

n

2 n +18

，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即

k

6k+9

＞

k

2 k +18

，∴2^k ＞6k-9
n=k+1时，有2^k+1 +18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴

k+1

6(k+1)+9

＞

k+1

2 k+1 +18

，结论成立
由①②可知，结论成立．

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