急求抛物线的焦点弦性质及其证明过程 在线等

如图，AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，
是抛物线的准线，
，N为垂足，则：（1）
；（2）
；（3）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；（4）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则；（5）
；（6）过M作
交x轴于E；则
；（7）设
，D为垂足，则A、O、D三点在同一条直线上；（8）设
则
；（9）若
为直线AB的倾斜角，则
（10）以AB为直径的圆与
相切。证明：（1）过A
作
，C为垂足。根据抛物线的定义，
，
，在梯形ABCD中，
，
由平面几何何结论知：
为
（2）在
中，
在
中，
（3）在
中，连结QF，根据抛物线的定义，有
，，即Q平分MN（4）由已知，直线AB的方程为
与
消去x
，得，根据韦达定理，
（5）
，即证明
经整理，即证
，由（4），这已经证明，所以结论成立。（6）
，
，
四边形MNEF为平行四边形，
，又
，
；（7）
点D的坐标为
，直线OA的的方程为
因此只要证明
，即证明
，即证明
这已由（4）证明，所以结论成立。（8）
根据抛物线的定义，知
，
又
，即
（9）当
时，
为通径显然成立，
当
时，直线AB的的斜率
，所以直线AB的方程可设为：
代入抛物线
得到：
（
）由韦达定理得
由（8）知
因此
（10）
M为AB的中点且
为直角梯形ABDC的中位线
又由抛物线的定义知
，故以AB为直径的圆与
相切。