已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b．（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，（i）函数f（x）的最大值为|2a-b|+

（Ⅰ）证明：（ⅰ）f′（x）=12a（x²-

b

6a

）
当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a；
（ⅱ） 要证f（x）+|2a-b|+a≥0，即证g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．
亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a，
∵g（x）=-4ax³+2bx+a-b，∴令g′（x）=-12ax²+2b=0，
当b≤0时，x＝

b 6a

；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时g（x）的最大值为：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，
∴g（x）_max=max{g（

b 6a

），g（1）}={

4

3

b

b 6a

+a?b，?3a+b}=

4 3 b b 6a +a?b ， b≤6a ?3a+b ， b＞6a

∴g（x）_max≤|2a-b|﹢a；
综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立