116问答网 > 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足2S n =a n 2 +a n （n∈N * ）．（Ⅰ）求a 1 ，

已知数列{a n }的各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足2S n =a n 2 +a n （n∈N * ）．（Ⅰ）求a 1 ，

2025-06-20 09:36:00

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回答1：

（Ⅰ）a₁ =1，a₂ =2，a₃ =3．（3分）
（Ⅱ）2S_n =a_n ² +a_n ，①2S_n-1 =a_n-1 ² +a_n-1 ，（n≥2）②（5分）
①-②即得（a_n -a_n-1 -1）（a_n +a_n-1 ）=0，（6分）
因为a_n +a_n-1 ≠0，所以a_n -a_n-1 =1，所以a_n =n（n∈N^* ）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵ b n =n(

) n ，
∴ T n =

+2× (

) 2 +…+n× (

) n ，

T n = (

) 2 +2× (

) 3 +…+n× (

) n+1 ．
两式相减得，

T n =

+ (

) 2 +…+ (

) n -n× (

) n+1
=1-

2+n

2 n+1

．
所以 T n =2-

2+n

2 n

．（13分）