已知：△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:4，求证：1⼀AB+1⼀AC=1⼀BC

证法一：
延长BC至E，使得AE=AC；延长AB至D，使得BD=AC；连接DE。
∠A:∠B:∠C＝1:2:4，则∠A=180/7，∠B=360/7，∠C=720/7，
∠EAC=180－2×(180/7＋360/7)=180/7，∴∠EAD=180/7＋180/7=360/7=∠ABC；
∴BE=AE=AC=BD，∠D=(360/7)÷2=180/7=∠BAC。
三角形ABC与ADE相似，AD:AB=AE:BC，
即：（AB＋AC）/AB=AC/BC，1/AB＋1/AC=1/BC。
证法二：
要证1/AB＋1/AC=1/BC，等式两边同乘三角形面积的2倍可知，即证AB、AC边上的高之和等于BC边上的高，即图中的AF=CD＋BE。（CD、BE、AF为三条高线）
∠A:∠B:∠C＝1:2:4，则∠A=180/7，∠B=360/7，∠C=720/7，
作角B和角C的平分线，分别交AC、AB于H、G，则∠CHB=360/7∠CBA，∠CGB=180－2×360/7=540/7，∠ECB=∠FCA=180/7＋360/7=540/7，所以，三角形CDG、BEC、AFC相似。
在AC上取一点P，使得CP=CB。过P作BC的平行线，交AF于N；过N作AC的平行线，交CF于M。
则三角形NFM与BEC全等，NF=BE。
连接PG，三角形CPG与CBG全等，所以，PG=BG=GC。
于是可知，三角形APG和PGC均为等腰三角形，则AP=PG=CG。
所以，三角形ANP全等于三角形
CDG，AN=CD。
所以，AF=AN＋NF=CD＋BE。即：1/AB＋1/AC=1/BC。

a+b+c=π
得：a=π/7，b=2π/7,c=4π/7
由正弦定理：ab/sinc=bc/sina=ac/sinb=2r(外接圆
直径)
1/ab=1/(2rsinc),1/bc=1/(2rsina),1/ac=1/(2rsinb)
1/ab+1/ac=1/(2r)*(1/sinc+1/sinb)
1/bc=1/(2r)*(1/sina)
下面证：1/sinb+1/sinc=1/sina
...(1)
即：sinasinc+sinasinb=sinbsinc
因为：sinasinc+sinasinb
=sin(π/7)sin(4π/7)+sin(π/7)sin(2π/7)
=-1/2*[cos(5π/7)-cos(3π/7)]-1/2*[cos(3π/7)-cos(π/7)](积化和差)
=-1/2[cos(5π/7)-cos(π/7)]
=sin(3π/7)sin(2π/7)
(和差化积)
=sin(4π/7)sin(2π/7)
=sinbsinc
故(1)式成立。
故原式成立。