116问答网 > 已知a,b,c为正数，求证（1⼀a^2+1⼀b^2+1⼀c^2）(a+b+c) ^2大于等于27

已知a,b,c为正数，求证（1⼀a^2+1⼀b^2+1⼀c^2）(a+b+c) ^2大于等于27

已知a,b,c为正数，求证（1/a^2+1/b^2+1/c^2）(a+b+c) ^2大于等于27

2025-06-22 15:10:35

推荐回答（2个）

回答1：

因为
1/a^2+1/b^2+1/c^2>=3/3次根号下(a^2*b^2*c^2)
a+b+c>=3*3次根号下(abc)
所以原式>=[3/3次根号下(a^2*b^2*c^2) ]*[9*次根号下(a^2*b^2*c^2)]
=27

回答2：

（1/a^2+1/b^2+1/c^2）(a+b+c) ^2大于等于27
（1/a^2+1/b^2+1/c^2）(a+b+c) ^2
=（1/a^2+1/b^2+1/c^2）(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) 如假定a=b=c时
=3+3+3+2+2+2+2+2+2+2+2+2=27
如假定a>b>c时
=（1/a^2+1/b^2+1/c^2）(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)>27

已知a,b,c为正数，求证 （1⼀a^2+1⼀b^2+1⼀c^2）(a+b+c) ^2大于等于27

已知a,b,c为正数，求证（1⼀a^2+1⼀b^2+1⼀c^2）(a+b+c) ^2大于等于27