116问答网 > （1）已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，若S n = 1 4 （a n +1） 2 ．①求{a n }

（1）已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，若S n = 1 4 （a n +1） 2 ．①求{a n }

2025-06-23 05:23:33

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回答1：

（1）①由S_n =

( a n +1 ) 2 ，可得 S n+1 =

( a n+1 +1 ) 2 ，
两式相减得 a n+1 =

( a n+1 - a n )( a n+1 + a n +2) ，
化为（a_n+1 +a_n ）（a_n+1 -a_n -2）=0．
∵a_n ＞0，∴a_n+1 -a_n -2=0，即a_n+1 -a_n =2．
∴数列{a_n }是公差为2的等差数列．
又 a 1 = S 1 =

( a 1 +1 ) 2 ，化为 ( a 1 -1 ) 2 =0 ，解得a₁ =1．
∴a_n =1+（n-1）×2=2n-1．
②由①知 S n =

n(1+2n-1)

= n 2 ，
∴

S m

S p

S k

m 2

p 2

k 2

k 2 ( m 2 + p 2 )-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2

，
又∵m，k，p∈N^* ，m+p=2k，∴ k=

m+p

．
∴

S m

S p

S k

(

m+p

) 2 ( m 2 + p 2 )-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2

≥

(

) 2 (2mp)-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2

=0，
∴

S m

S p

≥

S k

成立．
（2）由{a_n }是等差数列，设公差为d，
假设存在m∈N^* ， T m ，T_m+1 ，T_m+2 构成等比数列．即

2m+1

= T m ? T m+2 ．
∴ ( T m + a m+1 ) 2 = T m ( T m + a m+1 + a m+2 ) ，
化为dT_m =

2m+1

，即

+ md a 1 +

m(m+1) d 2 =0 （*）
若d=0，则a₁ =0，∴T_m =T_m+1 =T_m+2 =0，这与 T m ，T_m+1 ，T_m+2 构成等比数列矛盾．
若d≠0，要使（*）式中的首项a₁ 存在，必须△≥0，
然而△=m² d² -2m（m+1）d² =-（m² +2m）d² ＜0，矛盾．
综上所述，对任意n∈N^* ，T_n ，T_n+1 ，T_n+2 不能构成等比数列．