（1）令F（x）=ex-x-1，x∈R，
∵F'（x）=ex-1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；
当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，
由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即ex≥x+1．
（2）g（x）在x=x0处切线方程为y＝x+lnx0?1①
设直线l与y=ex图象相切于点(x1，ex1)，则l：y＝ex1x+ex1(1?x1)②，
由①②得
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＝ex1
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(3) |
| lnx0＝ex1(1?x1) |
(4) |
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，
∴lnx0?＝0⑤
下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．
令G(x)＝lnx?(x＞1)，G′(x)＝＞0，
∴G（x）在（1，+∞）上递增．
又G(e)＝＜0，G(e2)＝＞0，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．
（1）由（1）知?1＞0即证当a＞0时不等式ex-1-x＜ax即ex-ax-x-1＜0在（0，+∞）上有解．
令H（x）=ex-ax-x-1，即证H（x）min＜0，
由H'（x）=ex-a-1=0得x=ln（a+1）＞0．
当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，
当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．
∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1-aln（a+1）-ln（a+1）-1．
令V（x）=x-xlnx-1，其中x=a+1＞1
则V'（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0，
∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．
综上得证．
