116问答网 > 已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）

已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）

2025-06-22 18:12:05

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回答1：

解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠OCE．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
又∵EF⊥AB于F，
∴∠A+∠FEA=90°，
∴∠OEC+∠FEA=90°，
∴∠OEF=180-（∠OEC+∠FEA）=90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是圆O的切线；

（2）∵△AEF∽△ABC，
∴

，
即

，
设EF=x，则AE=

x．
∵OE⊥FE，FE⊥AB，
∴OE‖AD，
∴

，
即

∴OE=5-

x．
过点O作OG⊥AB，则四边形OEFG为矩形．
①当EF=OE时，圆O与AB相切，
x=5-

x，
解得：x=

120

，
②当EF＜OE时，AB与圆O相交，
x＜5-

x，
解得：x＜

120

，
则0＜x＜

120

；
③当EF＞OE时，AB与圆O相离，
x＞5-

x，
解得：x＞

120

，
故5≥x＞

120

．