设a是一个数,且0<a<1,证明对任意的x>0,(1⼀a)x^a+(1-1⼀a)<=x哪位老师会的教教我啊

原式可化成: ax+(1-a) ≥ x^a.
这是如下Young不等式的特例.
对0 < a, b < 1满足a+b = 1, 与x, y > 0, 有ax+by ≥ x^a·y^b.

Young不等式对数得lg(ax+by) ≥ a·lg(x)+b·lg(y).
这个就是对数函数的凸性, 可由Jensen不等式证明.

当然也可直接求导证明.
设f(x) = x^a/a-x, 有f'(x) = x^(a-1)-1.
0 < a < 1, 故x > 1时f'(x) < 0, f(x)单调递减.
0 < x < 1时f'(x) > 0, f(x)单调递增.
x = 1时f(x)取得最大值f(1) = 1/a-1.
即f(x) ≤ 1/a-1, 也即x^a/a+(1-1/a) ≤ x.

设f(x) = x^a/a-x,
有f'(x) = x^(a-1)-1.
0 < a < 1,
故x > 1时f'(x) < 0, f(x)单调递减.
0 < x < 1时f'(x) > 0, f(x)单调递增.
x = 1时f(x)取得最大值f(1) = 1/a-1.
即f(x) ≤ 1/a-1, 也即x^a/a+(1-1/a) ≤ x.
证毕