116问答网 > 已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -2（n∈N * ），数列{b n }满足b 1 =1，且点P（b n ，b n+1

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -2（n∈N * ），数列{b n }满足b 1 =1，且点P（b n ，b n+1

2025-06-22 16:59:13

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回答1：

（Ⅰ）当n=1，a₁ =2…（1分）
当n≥2时，a_n =S_n -S_n-1 =2a_n -2a_n-1 …（2分）
∴a_n =2a_n-1 （n≥2），∴{a_n }是等比数列，公比为2，首项a₁ =2
∴ a n = 2 n …（3分）
又点 P( b n ， b n+1 ) (n∈ N * ) 在直线y=x+2上，∴b_n+1 =b_n +2，
∴{b_n }是等差数列，公差为2，首项b₁ =1，∴b_n =2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵ a n ? b n =(2n-1)× 2 n
∴ D n =1× 2 1 +3× 2 2 +5× 2 3 +7× 2 4 +…(2n-3)× 2 n-1 +(2n-1)× 2 n ①
2 D n =1× 2 2 +3× 2 3 +5× 2 4 +7× 2 5 +…(2n-3)× 2 n +(2n-1)× 2 n+1 ②
①-②得 - D n =1× 2 1 +2× 2 2 +2× 2 3 +2× 2 4 +…2× 2 n -(2n-1)× 2 n+1 …（7分）
= 2+2×

4(1- 2 n-1 )

1-2

-(2n-1)× 2 n+1 = 2 n+1 (3-2n)-6 …（8分）
D n =(2n-3) 2 n+1 +6 …（9分）
（Ⅲ） c n =

2 n ，n为奇数

-(2n-1)，n为偶数

…（11分）
T_2n =（a₁ +a₃ +…+a_2n-1 ）-（b₂ +b₄ +…b_2n ）
= 2+ 2 3 +…+ 2 2n-1 -[3+7+…+(4n-1)]=

2 2n+1 -2

-2 n 2 -n …（13分）