已知数列an的前n项和为sn=2an-2∧(n+1) 若不等式2n∧(2)-n-3<(5-λ)an对任意n∈N*恒成立,求λ的取值范围

解：

n=1时，S1=a1=2a1-2^2
a1=4
n≥2时，
Sn=2an-2^(n+1) S(n-1)=2a(n-1)-2ⁿ
Sn-S(n-1)=an=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^n=2an-2a(n-1)-2ⁿ
an=2a(n-1)+2ⁿ
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ=a(n-1)/2^(n-1) +1
an/2ⁿ-a(n-1)/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2^1=4/2=2
数列{an/2ⁿ}是以2为首项，1为公差的等差数列。
an/2^n=2+n-1=n+1
an=(n+1)×2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=(n+1)×2ⁿ

2n∧(2)-n-3<(5-λ)an
(2n-3)(n+1)<(5-λ)(n+1)2^n
λ<5-（2n-3）/2^n

令f(n) = (2n-3)/(2^n) 其中，n∈N，即n≥1

∴ f(n+1) - f(n) = (2n-1) /[2^(n+1)] - (2n-3)/(2^n)
= (5-2n) /[2^(n+1)]

显然，2^(n+1) ＞0
令5-2n＞0 ，则n＜2.5，即n=1或n=2
此时f(n+1) ＞ f(n)，即函数f(n)在n=1或n=2时单调递增

同理，当n≥3时，f(n+1) ＜ f(n)，此时函数f(n)单调递减

而f(2) = 1/4 ＜ f(3) = 3/8，
∴函数f(n) = (2n-3)/(2^n) 在n=3时取得最大值3/8

令f(n) = (2n-3)/(2^n) ＜ 5 - λ …………………………………………（*）
则，只需5 - λ ＞ 3/8，即 λ＜37/8时，不等式（*）对任意n∈N恒成立。

又∵(n+1)*2^n ＞ 0
∴不等式（*）两边同时乘以(n+1)*2^n，得
(n+1)(2n-3) ＜ (5 -λ)(n+1)2^n ……………………………………(**)
即，不等式（*）等价于 不等式（**）。

∴λ＜37/8时，不等式（**）对任意n∈N恒成立。