116问答网 > 已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析

2025-06-22 03:57:15

推荐回答（1个）

回答1：

（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），
即a（-x+1）² +b（-x+1）=a（x+1）² +b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax² -2ax
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax² -（2a+1）x=0有两相等实数根，
∴△=（2a+1）² -4a×0=0
∴ a=-

，f(x)=-

x 2 +x （4分）

（2）① g(x)=-

x 3 + x 2 -kx ， g′(x)=-

x 2 +2x-k
∵g（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．
∴ △=4-4(-

)(-k)≤0 ，得 k≥

故k的取值范围为 [

，+∞) （7分）
②∵ f(x)=-

(x-1 ) 2 +

≤

，
∴ [km，kn]?(-∞，

] ，
∴ kn≤

，又k≥

，
∴ n≤

≤

，
∴[m，n]?（-∞，1]，
∴f（x）在[m，n]上是单调递增函数（9分）
∴

f(m)=km

f(n)=kn

即

m 2 +m=km

n 2 +n=kn

即

m=0，或m=2-2k

n=0，或n=2-2k

（11分）
∵m＜n故当

≤k＜1 时，[m，n]=[0，2-2k]；
当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；当k=1时，[m，n]不存在．（13分）