116问答网 > 已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2，n∈N*）（Ⅰ）...

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2，n∈N*）（Ⅰ）...

2025-06-22 16:58:09

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回答1：

解：（I）∵an=2an-1+2n
∴an2n=an-12n-1+1
即an2n-an-12n-1=1
∴数列{an2n}是等差数列，公差为=1，首项为a12=12
∴an2n=12+(n-1)×1
∴an=（2n-1）•2n-1
（II）Sn=1•20+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1
∴2Sn=1•21+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n
两式相减得
-Sn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）2n=（3-2n）•2n-3
∴Sn=（2n-3）•2n+3