（1）由已知f′(x)＝2+
(x＞0)，…（2分）1 x
f'（1）=2+1=3．
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为，切点坐标（1，2）…（3分）
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的方程为y-2=3（x-1）
即y=3x-1…（4分）
（a=0漏写，扣1分）
（2）f′(x)＝a+
＝1 x
(x＞0)．…（5分）ax+1 x
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（6分）
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x＝?
．1 a
在区间(0，?
)上，f'（x）＞0，在区间(?1 a
，+∞)上f'（x）＜0，1 a
∴函数f（x）的递增区间为(0，?
)，递减区间为(?1 a
，+∞)．…（8分）1 a
（3）∵k（x）=x-2lnx-a
∴k/(x)＝
…（10分）x?2 x
0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增 …（11分）
要使K（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，
则只需要
即
k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0
…（13分）
a≤1 a＞2?2ln2 a≤3?3ln2
则 2-2ln2＜a≤3-2ln3…（14分）
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