116问答网 > 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）命题：“过

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）命题：“过

2025-06-22 16:50:18

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回答1：

（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：y² =2px（p＞0），
∵抛物线C过点（1，2），
∴2² =2p，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y² =4x．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y² =4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为2．
证明如下：
设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，
代入y² =4x，消去x，得y² -4ty-4=0．
∵△=16t² +16＞0，
设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），则y₁ +y₂ =4t，y₁ y₂ =-4，
x₁ +x₂ =t（y₁ +y₂ ）+2=4t² +2，
∴线段AB中点P的坐标为（2t² +1，2t），
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t² -1），
令y=0，解得x=2t² +3，
即M（2t² +3，0），
∴|FM|=2t² +2，
由抛物线定义知，|AB|=x₁ +x₂ +2=4t² +4，
∴

|AB|

|FM|

=2 ．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为2．