已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(Ⅰ)求m与n的关系表达式;

2025-06-23 01:12:06
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回答1:

(I)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n,
因为x=1是f(x)的一个极值点,
所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6.
(II)由(I)知,
f′(x)=3mx2?6(m+1)x+3m+6=3m(x?1)[x?(1+

2
m
)].
当m<0时,有1>1+
2
m
,当x变化时,f(x)与f'(x)的变化如下表:
x (?∞,1+
2
m
)
1+
2
m
(1+
2
m
,1)
1 (1,+∞)
f′(x) <0 0 >0 0 <0
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由上表知,当m<0时,f(x)在(?∞,1+
2
m
)
单调递减,
(1+
2
m
,1)
单调递增,(1+∞)单调递减.